Question

已知ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△OED，ODF都是正三角形．
（Ⅰ）证明：平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）求棱锥F-ABC的体积；
（III）求异面直线AB与FD成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质证明故BC∥EF，AC∥OF，即可证明平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）利用等体积V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO，即可求棱锥F-ABC的体积；
（III）证明∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED，在△COE中，利用余弦定理，即可求异面直线AB与FD成角的余弦值．
解答：（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，
由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=DE
同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，
又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，
在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=DE和OC∥DF，OC=DF，
可知B，C分别是GE，GF的中点，
所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF
同理AC∥OF，∴平面ABC∥平面OEF；
（Ⅱ）解：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，
由（I）知，V_F-ABC=V_C-ABE=V_C-ABO===；
（III）解：由（I）知，AB∥OE，CO∥DF
∴∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，
取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED，
∵ME==
∴CE===
在△COE中，cos∠COE==-
∴异面直线AB与FD成角的余弦值是．
点评：本题考查面面平行，考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．