Question

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

高一年级	高二年级	高三年级
10人	6人	4人

（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=

C 110 C 210

C 320

=

15

38

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为

15

38

．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

1

3

．所以…（6分）P(ξ=0)=

C

04

(

1

3

)0(

2

3

)4=

16

81

；P(ξ=1)=

C

14

(

1

3

)1(

2

3

)3=

32

81

；P(ξ=2)=

C

24

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

=

8

27

；P(ξ=3)=

C

34

(

1

3

)3(

2

3

)1=

8

81

；
P(ξ=4)=

C

44

(

1

3

)4(

2

3

)0=

1

81

．…（11分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

…（12分）
所以Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

…（13分）
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为

1

3

．…（5分）
则随机变量ξ服从参数为4，

1

3

的二项分布，即ξ～B(4，

1

3

)．…（7分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

所以Eξ=np=4×

1

3

=

4

3

…（13分）