Question

设x、y是关于m的方程m²-2am+a+6=0的两个实根，则（x-1）²+（y-1）²的最小值是（　　）

• A、-12

  1

  4

• B、18
• C、8
• D、

  3

  4

Answer 1

分析：由方程的根与系数的关系得x+y与xy值，将欲求的（x-1）²+（y-1）²的式子用含x+y与xy的式子来表示，即化为含m的函数，最后求此函数的最小值即可．

解答：解：由△=（-2a）²-4（a+6）≥0，得a≤-2或a≥3．
于是有（x-1）²+（y-1）²
=x²+y²-2（x+y）+2
=（x+y）²-2xy-2（x+y）+2
=（2a）²-2（a+6）-4a+2=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

．
由此可知，当a=3时，（x-1）²+（y-1）²取得最小值8．
答案：C

点评：本题是一元二次方程的根为依托，求二次函数的最小值问题，必须注意到方程的根与系数的关系．
另外，本题容易发生的错误是，没有注意到方程有根的条件：△≥0，导致错解．