Question

12．曲线C：y=x²在（1，1）点处的切线l，与曲线C及x轴围成的封闭图形的面积等于$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 先根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

解答 解：y=x²在（1，1）点处的切线l，
则y′=2x，
∴直线l的斜率k=y′|_x=1=2，
∴直线l的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，
当y=0时，2x-1=0，即x=$\frac{1}{2}$，
所围成的面积如图所示：S=${∫}_{0}^{1}$x²dx-${∫}_{\frac{1}{2}}^{1}$（2x-1）dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$-（x²-x）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{1}$=$\frac{1}{3}$-[1-1-（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$
故答案为：$\frac{1}{12}$

点评 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题．