Question

已知sinx+sinα=

1

3

，求关于x的函数y=1+sinx+sin²α的最值．

Answer 1

分析：有偶题意求出sinα，并由正弦函数的值域求出sinx的范围，代入解析式并且配方，再由sinx的范围和二次函数的单调性求出函数的最值．

解答：解：由sinx+sinα=

1

3

得，sinα=

1

3

-sinx，
则-1≤

1

3

-sinx≤1，解得-

2

3

≤sinx≤

4

3

，即-

2

3

≤sinx≤1，
代入解析式得，
y=1+sinx+(

1

3

-sinx)2=sin2x+

1

3

sinx+

10

9

=(sinx+

1

6

)2+

13

12

，
∵-

2

3

≤sinx≤1，
∴当sinx=1时，函数取到最大值是y=1+

1

3

+

10

9

=

22

9

，
当sinx=-

1

6

时，函数取到最小值是y=

13

12

．

点评：本题考查了整体思想，配方法，以及正弦函数的值域应用，以及二次函数的性质应用，属于综合题．