【题目】已知是函数的极值点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求证:函数存在唯一的极小值点,且.
(参考数据:,,其中为自然对数的底数)
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)根据,求得实数的值,通过导数验证函数单调,可知时极值点为,满足题意;
(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数的极小点值位于 ,此时的零点位于,且此为的极小点值点,代入,中,化简即可得到关于的二次函数,求解二次函数在区间上的值域即可证明结论。
解:(Ⅰ)因为,且 是极值点,
所以,所以 .
此时 ,设 ,则 .
则当 时, 为减函数.
又,
所以在时, , 为增函数; 时, ,为减函数.所以为的极大值点,符合题意.
(Ⅱ)当 时,,为增函数,且 ,
所以存在 当 时, ,为减函数; 时, , 为增函数,所以函数存在唯一的极小值点 .
又 ,已知 ,可得 ,
所以,所以 ,
且满足 .
所以 .
其中也可以用如下方式证明:
,设 ,
则.
则当 时, ,为减函数;当 时,, 为增函数.
所以
所以在 ,所以
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【题目】某校命制了一套调查问卷(试卷满分均为100分),并对整个学校的学生进行了测试,先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩,按照分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)
(1)求频率分布直方图中的的值,并估计50名学生的成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)用样本估计总体,若该校共有2000名学生,试估计该校这次成绩不低于70分的人数.
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【题目】已知是椭圆:的左焦点,O为坐标原点,为椭圆上的点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点都在椭圆上,且中点在线段(不包括端点)上,求面积的最大值,及此时直线的方程.
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【题目】已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
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【题目】已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
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【题目】某大型超市公司计划在市新城区开设分店,为确定在新城区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息(其中表示在该区开设分店的个数,表示这个分店的年收入之和):
分店个数(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年收入(万元) | 250 | 300 | 400 | 450 | 600 |
(Ⅰ)该公司经过初步判断,可用线性回归模型拟合与的关系,求关于的回归方程;
(Ⅱ)假设该公司每年在新城区获得的总利润(单位:万元)与,之间的关系为,请根据(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司在新城区开设多少个分店时,才能使新城区每年每个分店的平均利润最大.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,.
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