Question

根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程．
（Ⅰ）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）已知双曲线过点P(

5

，

1

2

)，渐近线方程为x±2y=0，且焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的标准方程，可得2a=6且c=2，由平方关系算出b²=5，从而得到所示椭圆的方程；
（II）根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为x²-4y²=λ（λ≠0），将点P(

5

，

1

2

)代入求出λ的值，将λ代入所设的双曲线方程，再化简即得该双曲线的标准方程．

解答：解：（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），
∴2a=6，c=2，可得a=3，b²=

a2-c2

=5
因此，椭圆的方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）∵双曲线渐近线方程为x±2y=0，
∴设双曲线方程为x²-4y²=λ（λ≠0）
∵点P(

5

，

1

2

)在双曲线上，∴(

5

)2-4×(

1

2

)2=λ，可得λ=4
因此，双曲线方程为x²-4y²=4，化成标准方程为

x2

4

-y2=1．
即所求双曲线方程为

x2

4

-y2=1．

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．