Question

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)．
（I）设x=x₀是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(

x

0

)的值；
（II）求使函数h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)(ω＞0)在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

分析：（I）先用二倍角公式对函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)进行化简，而后求出函数y=f（x）的图象上一条对称轴，由于周期性函数对称轴周期性出现故其表达形式中带有参数，将对称轴的表达式代入g(x)=cos2(x+

π

12

)的方程后要对参数的取值范围进行讨论，分类求值．
（II）将f（x）与g（x）的表达式代入化简后得到h（x）=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

，下根据三角函数的性质得到关于ω的不等式，h（x）在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数，故[-

2π

3

，

π

3

]必是h（x）的递增区间的一部分，即它的子集，由此可以得到关于参数的不等式．

解答：解：（I）f(x)=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，g(x)=cos2(x+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]，（2分）
∵x=x₀是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2x0=kπ+

π

2

(k∈Z)，（4分）
∴g(x0)=cos2(x0+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2π

3

)]
当k为偶数时，g(x0)=

1

4

；当k为奇数时，g(x0)=

3

4

.（6分）
（II）h(x)=

3

2

+

1

4

sinωx+

3

4

cosωx=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

（8分）
∵ω＞0，∴当x∈[-

2π

3

，

π

3

]时，ωx+

π

3

∈[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]
∴[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，（10分）
∴

- 2ωπ 3 + π 3 ≥2kπ- π 2 ωπ 3 + π 3 ≤2kπ+ π 2

，即

ω≤-3k+ 5 4 ω≤6k+ 1 2

，
∵ω＞0，∴

-3k+ 5 4 ＞0 6k+ 1 2 ＞0

，-

1

12

＜k＜

5

12

，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤

1

2

，ω的最大值是

1

2

（12分）

点评：本题考点是正弦函数单调性的应用，考查求正弦类函数的对称轴方程，求三角函数值，以及利用三角函数的单调性将函数在某个区间上单调转化为参数所满足的不等式求参数，这里用到了转化化归的思想，本题综合性强，难度较大，请做好题后总结．