(本小题满分12分)已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(1)当时, ,此时单调递减,
当时,,此时单调递增 ,的极小值为 ;
(2) ;(3)存在实数,使得当时有最小值3.
【解析】本题主要考查导数的应用.导数一般应用在求切线的斜率极其方程,求函数的单调区间以及极值,和求在某个区间上的最值问题上.导数的应用是高考考查的重点,须重视。
(1)把a=1代入原函数,求出其导函数,即可求f(x)的单调性、极值;
(2)的极小值为1,即在上的最小值为1,即... .(5分)
令,判定单调性得到证明。
(3)先求出其导函数,通过分类讨论分别求出导数为0的根,以及单调性和极值,再与f(x)的最小值是3相结合,即可得出结论.
解:(1), ………………..………....(1分)
∴当时, ,此时单调递减
当时,,此时单调递增 …………………………....(3分)
∴的极小值为 ……………….……....(4分)
(2)的极小值为1,即在上的最小值为1,即... .(5分)
令,, …………………………………………....(6分)
当时,,在上单调递增 …………………………...(7分)
∴
∴在(1)的条件下, ………………………….……....(8分)
(3)假设存在实数,使()有最小值3,
…………………………………....(9分)
① 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值. ……………………………………….……....(10分)
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件. ……………………………....(11分)
③ 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.综上,存在实数,使得当时有最小值3.
……………………………………………………………....(12分)
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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