Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF；
（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）如图所示，取PF中点G，连接EG，CG． 连接AC交BD于O，连接FO．

由题可得F为AG中点，O为AC中点，
∴FO∥GC；
又G为PF中点，E为PD中点，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC面GEC，
FO∩FD=F，FO，FD面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE面GEC，
∴CE∥面BDF；
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为 3 的菱形，
∴AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，﹣ ，0），D（0， ，0），P（﹣ ，0，3），C（ ，0，0），F（- ，0，2）．
则 ， ， ， ．
设平面BDF的一个法向量为 ，
则 ，取z=3，得 ．
设平面PCD的一个法向量为 ，
则 ，取y= ，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取PF中点G，连接EG，CG．连接AC交BD于O，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF；（Ⅱ）由底面ABCD是边长为 3 的菱形，可得AC⊥BD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．