【题目】在直角坐标系xOy中,是以PF为底边的等腰三角形,PA平行于x轴,点,且点P在直线上运动.记点A的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)直线AF与C的另一个交点为B,等腰底边的中线与直线的交点为Q,试问的面积是否存在最小值?若存在,求出该值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,值为.
【解析】
(1)根据抛物线的定义得轨迹为抛物线(去除顶点),从而可得其方程;
(2)设直线AB的方程为,,,直线方程代入抛物线方程整理可得,由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长,再求出点到直线的距离,求得三角形面积(表示为的函数),由函数性质可得最小值.
(1)由题意得PA与直线垂直,且,
故点A到定点的距离和到直线的距离相等,
由抛物线的定义可得,C是以为焦点,
直线为准线的抛物线(除原点O),
故C的方程为.
(2)存在.
设直线AB的方程为,,,
由,得,
则,,.
因为,,所以,
则. 又P的坐标为,
所以PF的中点为,
故底边的中线所在的直线方程为.
令,得,
故Q的坐标为. 点Q到直线AB的距离,
所以,
故当时,取得最小值4.
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【题目】甲、乙两地相距,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度(单位:)的平方成正比,且比例系数为,固定部分为元.
(1)把全程运输成本(元)表示为速度的函数,并求出当,时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当,元,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.
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【题目】某大型电器企业,为了解组装车间职工的生活情况,从中随机抽取了名职工进行测试,得到频数分布表如下:
日组装个数 | ||||||
人数 | 6 | 12 | 34 | 30 | 10 | 8 |
(1)现从参与测试的日组装个数少于的职工中任意选取人,求至少有人日组装个数少于的概率;
(2)由频数分布表可以认为,此次测试得到的日组装个数服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(
(ii)为鼓励职工提高技能,企业决定对日组装个数超过的职工日工资增加元,若在组装车间所有职工中任意选取人,求这三人增加的日工资总额的期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线:(,为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.
(1)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;
(2)若直线的方程为,设与的交点为,,与的交点为,,若的面积为,求的值.
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【题目】甲、乙两名射箭选手最近100次射箭所得环数如下表所示.
甲选手100次射箭所得环数
环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
次数 | 15 | 24 | 36 | 25 |
乙选手100次射箭所得环数
环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
次数 | 10 | 20 | 40 | 30 |
以甲、乙两名射箭选手这100次射箭所得环数的频率作为概率,假设这两人的射箭结果相互独立.
(1)若甲、乙各射箭一次,所得环数分别为X,Y,分别求X,Y的分布列并比较的大小;
(2)甲、乙相约进行一次射箭比赛,各射3箭,累计所得环数多者获胜.若乙前两次射箭均得10环,且甲第一次射箭所得环数为9,求甲最终获胜的概率.
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【题目】小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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