Question

2．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地距离10千米，顾客选A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，探究A，B两地的售货区域的分界线的形状，并分别指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应该如何选择购货地点？

Answer 1

分析 以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，求出由P地到A、B两地购物总费用，可求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，进而根据P的位置，即可得出结论．

解答 解：如图，以A、B所在的直线为x轴，
线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
∵|AB|=10，∴A（-5，0），B（5，0）．
设P（x，y），P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/千米）．
当由P地到A、B两地购物总费用相等时，
有价格+A地运费=价格+B地运费，
得3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，
化简整理得（x+$\frac{25}{4}$）²+y²=（$\frac{15}{4}$）²，
故A，B两地的售货区域的分界线的形状为以（-$\frac{25}{4}$，0）为圆心，
$\frac{15}{4}$为半径的圆；
（1）当P点在以（-$\frac{25}{4}$，0）为圆心、
$\frac{15}{4}$为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等，选A或B均可；
（2）当P点在上述圆内时，即（x+$\frac{25}{4}$）²+y²＜（$\frac{15}{4}$）²，
∴[9（x+5）²+9y²]-[（x-5）²+y²]=8[（x+$\frac{25}{4}$）²+y²-（$\frac{15}{4}$）²]＜0
∴3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$＜a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，故此时到A地购物合算；
（3）同理，当P点在上述圆外时，得3a$\sqrt{（x+5）^{2}+{y}^{2}}$＞a$\sqrt{（x-5）^{2}+{y}^{2}}$，故此时到B地购物合算．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．