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(08年安徽皖南八校联考)(本小题满分14分)

如图所示,已知椭圆)的离心率为为椭圆在轴正半轴上的焦点,两点在椭圆上,且),定点 (一4,0),当=1时,有

(1)       求证:当=1时,

(2)       求椭圆的方程.

(3)       当两点在椭圆上运动时,试判断是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出这时两点所在直线方程,若不存在,请说明理由.

 

 

解析:  (1)证明:设),),),,则-

=(-),当=1时,

=+=2.…………………………………………………………………2分

    由两点在椭圆上,∴ ,∴.

    若,则(舍),∴,∴(0,),

+4,).

=0,∴.…………………………………………………………4分

(注:由=1,得的中点,再利用椭圆对称性或由焦半径公式证明参照得分)

    (2)解:当=1时,不妨设

    ∴.……………………………………………………………6分

    又,∴.

    ∵,∴,椭圆的方程为. …………………………………8分

    (3)解:=, ………………9分

    设直线的方程为,联立 ,

,∴.…………………10分

,则

∴当,当,即时取等号.

并且,当时,

不存在时. ………………………………………………13分

综上有最大值,最大值为.

此时,直线的方程为 ……………………………14分

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