精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数数学公式,设g(x)=x2•f'(x)(x>0)
(1)是否存在唯一实数a∈(m,m+1),使得g(a)=0,若存在,求正整数m的值;若不存在,说明理由.
(2)当x>0时,f(x)>n恒成立,求正整数n的最大值.

解:(1)由,得 g(x)=x-1-ln(x+1)(x>0),
,因此g(x)在(0,+∞)内单调递增.(4分)
因为g(2)=1-ln3<0,g(3)=2(1-ln2)>0,
即g(x)=0存在唯一的根a∈(2,3),于是m=2,(6分)
(2)由f(x)>n得,n<f(x)且x∈(0,+∞)恒成立,
由第(1)题知存在唯一的实数a∈(2,3),使得g(a)=0,且当0<x<a时,g(x)<0,f′(x)<0;
当x>a时,g(x)>0,f′(x)>0,
因此当x=a时,f(x)取得最小值(9分)
由g(a)=0,得 a-1-ln(a+1)=0,即 1+ln(a+1)=a,于是 f(a)=a+1
又由a∈(2,3),得f(a)∈(3,4),从而n≤3,故正整数n的最大值为3.(12分)
分析:(1)先对f(x)求导,得出g(x)=x-1-ln(x+1),再利用零点存在性定理可以研究g(x)的零点情况,做出解答.
(2)当x>0时,f(x)>n恒成立,需考察f(x)的最小值情况.由第(1)题知存在唯一的实数a∈(2,3),使得g(a)=0,且当0<x<a时,g(x)<0,f′(x)<0;当x>a时,g(x)>0,f′(x)>0,因此当x=a时,f(x)取得最小值.利用g(a)=0,得 出 f(a)=a+1,结合a∈(2,3)得出f(a)∈(3,4),从而n≤3,故正整数n的最大值为3.
点评:本题考查了函数单调性与导数的应用:求最值,零点、恒成立问题.考察转化、计算、推理论证能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2010年高三数学调研试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求F(x)的单调区间;
(2)若以,图象上任意一点P(x,y)为切点的切线的斜率k≤1恒成立,求实数a的最小值;
(3)是否存在实数m,使得函数的图象与q(x)=f(1+x2)的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数数学公式,设g(x)=(3a2-2)x,
(1)当数学公式时,求函数f(x)的极值;
(2)如果函数f(x)与函数g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省吉安中学等四校高三第一次联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,设g(x)=x2•f'(x)(x>0)
(1)是否存在唯一实数a∈(m,m+1),使得g(a)=0,若存在,求正整数m的值;若不存在,说明理由.
(2)当x>0时,f(x)>n恒成立,求正整数n的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年贵州省五校高三第四次联考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,设g(x)=(3a2-2)x,
(1)当时,求函数f(x)的极值;
(2)如果函数f(x)与函数g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案