Question

已知直线l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，点P是线性约束条件所表示区域内一动点，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M、N，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点（2，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于Q点，且使得△ABQ是等边三角形．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由题意有l₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，
∴四边形PMON是矩形，
∴S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，
∴，
∴|x₀²-y₀²|=2，
∵P在所表示的区域内，
∴x₀²-y₀²=2（x₀＞0），
所以求得动点P的轨迹方程为x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．
当l⊥x轴时，有l：x=2．
此时|AB|=，，△ABQ不是正三角形．
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，
得（1-k²）x²+4k²-2=0，
△=8k²+8＞0恒成立，
∵l与双曲线的右支交于两点，
∴|k|＞1．
∴，

∴线段AB的中点，
∴线段AB的垂直平分线为，
∴，
∵△ABQ是等边三角形，
∴．
分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由题意有l₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，四边形PMON是矩形，所以S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，故，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．当l⊥x轴时，有l：x=2．此时|AB|=，，△ABQ不是正三角形．当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²+4k²-2=0，△=8k²+8＞0恒成立，由此能够推导出．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．