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9.设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y).
若f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2,则a的取值范围(1,$\frac{9}{8}$).

分析 运用赋值法,令x=y=3,求出f(9)=2,再由f(xy)=f(x)+f(y),将f(a)>f(a-1)+2变形为f(a)>f(9a-9),再根据函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a-1>0}\\{a>9a-9}\end{array}\right.$,解出即可.

解答 解:∵f(3)=1,f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=3,则f(9)=f(3)+f(3)=2f(3)=2,
即f(9)=2,
∵f(a)>f(a-1)+2,
∴f(a)>f(a-1)+f(9),
∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(a-1)+f(9)=f(9a-9),
∴f(a)>f(9a-9),
∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a-1>0}\\{a>9a-9}\end{array}\right.$,∴1<a<$\frac{9}{8}$,
∴实数a的取值范围是:(1,$\frac{9}{8}$).
故答案为:(1,$\frac{9}{8}$).

点评 本题主要考查函数的单调性及应用,注意不要忘记函数的定义域,同时考查解决抽象函数问题常用的方法:赋值法,注意条件的反复运用和灵活运用.

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