Question

已知点F₁、F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d，若|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A．[2+

  3

  ，+∞）
• B．（1，

  3

  )
• C．（1，2+

  3

  ]
• D．[2，2+

  3

  ]

Answer 1

分析：根据双曲线的定义，结合等差数列的含义，得到|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|=-2a，再用圆锥曲线的统一定义，得到

|PF2|

d

=e，因此d-|PF₂|=d（1-e）=-2a，得到d=

2a

e-1

，最后根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得d≥a-

a2

c

，建立关于a、c和e的不等式，解之即得此双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：∵|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差数列，
∴|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|，
∵P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1右支上一点，（a＞0，b＞0）
∴|PF₂|-|PF₁|=-2a=d-|PF₂|，
设双曲线的离心率是e，根据圆锥曲线的统一定义，
得到

|PF2|

d

=e，所以d-|PF₂|=d（1-e）=-2a
∴根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得：d=

2a

e-1

≥a-

a2

c

，
上式的两边都除以a，得：

2

e-1

≥1-

1

e

，解此不等式得：2-

3

≤e≤2+

3

又∵双曲线的离心率e＞1，
∴e∈(1，2+

3

]
故选C

点评：本题以等差数列为载体，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质和等差数列的概念等知识点，属于中档题．