Question

9．如图，保持点P（3，3）与原点的距离不变，并绕原点旋转60°到P′位置，设点P′的坐标为（x′，y′）．
（1）点P与原点之间的距离是多少？
（2）向量$\overrightarrow{OP}$与x轴正方向的夹角是多少？
（3）求点P′的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用距离公式直接求解点P与原点之间的距离．
（2）利用点的坐标即可求解向量$\overrightarrow{OP}$与x轴正方向的夹角．
（3）利用两角和的正弦函数以及余弦函数即可求点P′的坐标．

解答 解：（1）点P（3，3）与原点的距离：$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$3\sqrt{2}$．
（2）向量$\overrightarrow{OP}$与x轴正方向的夹角是45°．
（3）OP′与x轴正方向的夹角是105°．
设P′（x′，y′）．
则x′=$3\sqrt{2}$cos105°=-$3\sqrt{2}$cos（45°+30°）=$\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$，
y′=$3\sqrt{2}$sin（180°-105°）=$3\sqrt{2}$sin（45°+30°）=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，
点P′的坐标（$\frac{3-3\sqrt{3}}{2}，\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查向量与三角函数的相结合，两角和与差的三角函数的应用，两点距离公式的应用，考查计算能力．