【题目】如图,已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过F的两条动直线AB,CD与抛物线交出A、B、C、D四点,直线AB,CD的斜率存在且分别是k1(k1>0),k2.
(Ⅰ)若直线BD过点(0,3),求直线AC与y轴的交点坐标
(Ⅱ)若k1﹣k2=2,求四边形ACBD面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)(0,);(Ⅱ)32.
【解析】
(Ⅰ)抛物线方程为,设,,,,,直线代入抛物线方程,当时,得,,当时,得,进而可得值为,写出直线AC方程,令得,进而得出结论;
(Ⅱ)设,,,,,直线l的方程是,联立抛物线方程,由韦达定理可得,,再求出点C到AB的距离d1,点D到AB的距离d2,,化简得,设,求导,分析单调性,进而得出.
(Ⅰ)由题意可得抛物线方程为,
设直线代入抛物线方程得,
设,,,,,
当时,得,,
当时,,
所以,
直线AC方程是,
令得,
故直线AC与y轴交点坐标是;
(Ⅱ)设直线l的方程是,代入得,
设,,,,,
则,,
,
点C到AB的距离,
点D到AB的距离,
则
,
设,
则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在内最小值,
故当,时,.
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【题目】如图, 为圆的直径,点, 在圆上, ,矩形和圆所在的平面互相垂直,已知, .
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,二面角的大小为.
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【题目】为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示:劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等,劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积.将,称为基尼系数.对于下列说法:
①越小,则国民分配越公平;
②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.
其中不正确的是:( )
A.①④B.②③C.①③④D.①②④
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【题目】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,分别为椭圆的左,右焦点,分别为椭圆的左,右顶点,设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若三角形的面积等于四边形的面积,求的值;
(Ⅲ)设点为的中点,射线(为原点)与椭圆交于点,满足,求的值.
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【题目】某省开展“精准脱贫,携手同行”的主题活动,某贫困县统计了100名基层干部走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,统计结果见下表.
走访数量区间 | 频数 | 频率 |
b | ||
10 | ||
38 | ||
a | 0.27 | |
9 | ||
总计 | 100 | 1.00 |
(1)求a与b的值;
(2)根据表中数据,估计这100名基层干部走访数量的中位数(精确到个位);
(3)如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”,按照分层抽样,从“工作出色”的基层干部中抽取4人,再从这4人中随机抽取2人,求其中有1人走访贫困户不少于45户的概率.
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【题目】设函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,对于给定实数,总存在实数,使得关于的方程恰有3个不同的实数根.
(i)求实数的取值范围;
(ii)记,求证:.
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【题目】某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案(a)规定每日底薪50元,快递业务每完成一单提成3元;方案(b)规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元,该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[ 25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案(a)的概率为,选择方案(b)的概率为.若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案(a)的概率;
(3)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为A,过的直线与y轴交于点M,满足(O为坐标原点),且直线l与直线之间的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线上是否存在点P,满足?存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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