Question

设函数f（x）=

|x|

x+2

-ax2，其中a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，函数f（x）=

|x|- 2x2(x+2)

x+2

，令|x|-2x²（x+2）=0，可得 ①

x≥0 x-2x3-4x2=0

，或②

x＜0 -x-2x3-4x2=0

．分别解①、②求得x的值，可得函数f（x）的零点．
（2）当a＞0时，若x≥0，化简函数f（x）的解析式为

x(1-ax2-2ax)

x+2

．令f（x）=0，求得f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，命题得证．

解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=

|x|

x+2

-2x2=

|x|- 2x2(x+2)

x+2

，
令|x|-2x²（x+2）=0，可得 ①

x≥0 x-2x3-4x2=0

，或②

x＜0 -x-2x3-4x2=0

．
解①可得 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1．
解②可得 x=

2

2

-1．
综上可得，当a=2时，函数f（x）的零点为 x=0，x=

6

2

+1，或x=

6

2

-1，或 x=

2

2

-1．
（2）证明：∵当a＞0时，若 x≥0，则函数f（x）=

|x|

x+2

-ax2=

x

x+2

-ax² =

x(1-ax2-2ax)

x+2

．
令f（x）=0，可得x（1-ax²-2ax）=0，解得 x=0，或 x=-1+

2

，或x=-1-

2

（舍去）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点x=-1+

2

．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．