Question

已知e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）求证ln2＞

13

20

；
（Ⅲ）求证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=

1

x+1

-1+x，当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，得函数f（x）在[0，+∞）上单调性，即可得到函数的最小值；
（Ⅱ）可用分析法证明ln2＞

13

20

；
（Ⅲ）亦可用分析法证明ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）．

解答： 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

，
则f′（x）=

1

x+1

-1+x=

x2

x+1

，
故当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，
则函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值为0；

（Ⅱ）证明：要证ln2＞

13

20

，只需证ln4＞

13

10

，
只需证ln

4

e

＞

3

10

，
而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x-

x2

2

（x≥0）
所以ln[1+（

4

e

-1）]≥（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2
只需证（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2＞

3

10

，
即需证明4（e-1）＞0.9e²
而e=2.71828…是自然对数的底数，
故4（e-1）＞0.9e²恒成立，
从而ln2＞

13

20

得证；

（Ⅲ）要证ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）成立，
只需证ln（n+1）＞

9

10

-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）（n≥1，n∈N）恒成立，
只需证2xln（x+1）+

1

x+1

＞

9

5

x（x≥1）恒成立，
令g（x）=2xln（x+1）+

1

x+1

-

9

5

x（x≥1），
则g′（x）=2ln（x+1）+2x•

1

x+1

-

1

(1+x)2

-

9

5

=2ln（x+1）-

2

x+1

-

1

(1+x)2

+

1

5

（x≥1），
故g′（x）在[1，+∞）上是增函数
所以g′（x）≥g′（1）=2ln2-1-

1

4

+

1

5

＞

13

10

-1-

1

4

+

1

5

=

3

2

-

5

4

＞0，
故g′（x）在[1，+∞）上是增函数，
故g（x）≥g（1）=2ln2+

1

2

-

9

5

＞

13

10

+

1

2

-

9

5

=0，
从而2xln（x+1）+

1

x+1

＞

9

5

x（x≥1）恒成立，
即ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）＞

9n2+4n

10(n+1)

（n≥1，n∈N）成立．

点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用以及不等式证明中的分析法的应用．