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    定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
    x2+y2
    xy
    ；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
    （Ⅰ）求过点（-1，
    1
    4
    ）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
    （Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2．
    分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，从而可求得f（x）=x+
    1
    x
    ，设过点（-1，
    1
    4
    ）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+
    1
    x0
    ），则切线的斜率为1-
    1
    x02
    ，于是可求得切线方程，将点（-1，
    1
    4
    ）的坐标代入方程即可求得x0，从而可得过点（-1，
    1
    4
    ）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
    1
    x
    ，当n∈N*时，fn（x）-f（xn）=(x+
    1
    x
    )    n    -（xn+
    1
    xn
    ），利用二项式定理将(x+
    1
    x
    )    n    展开，采用倒序相加法可求得2（fn（x）-f（xn）），再利用基本不等式即可证得结论．
    解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
    当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-
    x2+1
    2x
    ，即f（x）=-
    1
    2
    （x+
    1
    x
    ），
    f′（x）=-
    1
    2
    （1-
    1
    x2
    ），
    由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
    则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=
    x2+1
    x
    =x+
    1
    x
    ，f′（x）=1-
    1
    x2
    ，
    由f′（x）=-1得，x2=
    1
    2
    ，此方程在D上有解，符合题意．
    设过点（-1，
    1
    4
    ）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+
    1
    x0
    ），则切线的斜率为1-
    1
    x02
    ，
    其方程为y-x0-
    1
    x0
    =（1-
    1
    x02
    ）（x-x0），把点（-1，
    1
    4
    ）的坐标代入整理得，
    5x02-8x0-4=0，解得x0=-
    2
    5
    或x0=2，
    把x0=-
    2
    5
    或x0=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-
    21
    4
    x-5和y=
    3
    4
    x+1，
    即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
    1
    x
    ，当n∈N*时，
    fn（x）-f（xn）=(x+
    1
    x
    )    n    -（xn+
    1
    xn
    ）
    =
    C
    1
    n
    xn-1•
    1
    x
    +
    C
    2
    n
    xn-2•
    1
    x2
    +…+
    C
    n-2
    n
    x2•
    1
    xn-2
    +
    C
    n-1
    n
    x•
    1
    xn-1

    =
    C
    1
    n
    xn-2+
    C
    2
    n
    xn-4+…+
    C
    n-2
    n
    1
    xn-4
    +
    C
    n-1
    n
    1
    xn-2
    ，
    由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
    2（fn（x）-f（xn））=
    C
    1
    n
    xn-2+
    C
    2
    n
    xn-4+…+
    C
    n-2
    n
    1
    xn-4
    +
    C
    n-1
    n
    1
    xn-2

    +
    C
    n-1
    n
    1
    xn-2
    +
    C
    n-2
    n
    1
    xn-4
    +…+
    C
    2
    n
    xn-4+
    C
    1
    n
    xn-2
    =
    C
    1
    n
    xn-2+
    C
    2
    n
    xn-4+…+
    C
    n-2
    n
    1
    xn-4
    +
    C
    n-1
    n
    1
    xn-2

    +
    C
    1
    n
    1
    xn-2
    +
    C
    2
    n
    1
    xn-4
    +…+
    C
    n-2
    n
    xn-4+
    C
    n-1
    n
    xn-2
    =
    C
    1
    n
    （xn-2+
    1
    xn-2
    ）+
    C
    2
    n
    （xn-4+
    1
    xn-4
    ）+…+
    C
    n-1
    n
    （xn-2+
    1
    xn-2
    ）
    ≥2
    C
    1
    n
    +2
    C
    2
    n
    +…+2
    C
    n-1
    n
    ）
    =2（
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    +…+
    C
    n-1
    n
    ）
    =2[（
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    +…+
    C
    n-1
    n
    +
    C
    n
    n
    ）-
    C
    0
    n
    -
    C
    n
    n
    ）]
    =2（2n-2）
    所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．
    点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，突出二项式定理及倒序相加法与基本不等式的综合运用，属于难题．
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    xy
    ；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
    （Ⅰ）求过点（-1，
    1
    4
    ）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
    （Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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