Question

7．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且在区间[0，1]上同时满足三个条件：（1）对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）≤f（x₂）；（2）f（$\frac{x}{5}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；（3）f（x）+f（1-x）=1，则f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{5}$）+f（$\frac{1}{15}$）=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数且在原点有定义，从而有f（0）；根据条件（3），令x=1便可求出f（1）=1，令x=$\frac{1}{2}$便可求出f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；而由条件（2），分别令x=$1，\frac{1}{2}，\frac{1}{5}$便可求出$f（\frac{1}{5}）=\frac{1}{2}$，$f（\frac{1}{10}）=f（\frac{1}{25}）=\frac{1}{4}$，这样根据条件（1）便可得到$f（\frac{1}{25}）≤f（\frac{1}{15}）≤f（\frac{1}{10}）$，从而有f（$\frac{1}{15}$）=$\frac{1}{4}$，这样即可求出$f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{5}）+f（\frac{1}{15}）$的值．

解答 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
∴f（0）=0；
∵f（x）+f（1-x）=1；
∴令x=1得，f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1；
令x=$\frac{1}{2}$得，f（$\frac{1}{2}$）+$f（\frac{1}{2}）$=1，∴$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$；
∵$f（\frac{x}{5}）=\frac{1}{2}f（x）$；
∴令x=1得，$f（\frac{1}{5}）=\frac{1}{2}f（1）=\frac{1}{2}$；
令x=$\frac{1}{2}$得，$f（\frac{1}{10}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$；
令x=$\frac{1}{5}$得，$f（\frac{1}{25}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{5}）=\frac{1}{4}$；
又对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）≤f（x₂），且$\frac{1}{25}＜\frac{1}{15}＜\frac{1}{10}$；
∴$f（\frac{1}{15}）=\frac{1}{4}$；
∴$f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{5}）+f（\frac{1}{15}）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，以及对于题中所给三个条件的理解和灵活运用．