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设P是以F1、F2为焦点的椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a>b>0)
上的任一点,∠F1PF2最大值是120°,求椭圆离心率.
分析:先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=
4a2-4c2 
2|PF1| |PF2|
-1,进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围,进而确定cos∠PF1F2的最小值,求得a和b的关系,进而求得a和c的关系,确定椭圆的离心率.
解答:解:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a
cos∠PF1F2=
|PF 1|2+|PF 2|2-|F1F2|2
2|PF1| |PF2|
=
4a2-4c2 
2|PF1| |PF2|
-1≥
2b2
a2
-1=-
1
2

∴a2=4b2
∴c2=
a2-b2
=3b2
∴e=
c
a
=
3
2
点评:本题主要考查了椭圆的应用.当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大,这个结论可以记住它.在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题.
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x2
16
-
y2
9
=1
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+
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=1 (a>b>0)
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