Question

借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数S(x)=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函数g(x)=

x，x＞2 0，x=2 -x，x＜2.

可以将g（x）表示为g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．
设f（x）=（-x²+4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）．
（Ⅰ）请把函数f（x）写成分段函数的形式；
（Ⅱ）设F（x）=f（x-k），且F（x）为奇函数，写出满足条件的k值；（不需证明）
（Ⅲ）设h（x）=（x²-x+a-a²）S（x-a）+（x²+x-a-a²）S（a-x），求函数h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（I）分当x＞1、当x=1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据S（x）的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；
（II）因为函数F（x）的定义域为R，所以F（x）为奇函数，得F（0）=f（-k）=0，由此结合-k的范围代入f（x）的表达式，再根据奇函数的定义加以验证，即可得到满足条件的k值；
（III）由题意，可得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

，再结合二次函数的图象与性质，分a≥

1

2

、0≤a＜

1

2

、-

1

2

＜a＜0和a≤-

1

2

的4种情况进行讨论，最后综合可得当a≤0时，h（x）的最小值为-a2+a-

1

4

；当a＞0时，h（x）的最小值为-a2-a-

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）分情况讨论：
①当x＞1时，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②当x=1时，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③当x＜1时，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4       x=1 x2-1，x＜1

…（2分）
（Ⅱ）若F（x）为奇函数，则F（0）=f（-k）=0，
①当-k＞1时，解出k=-1或-3，但k=-3不符合题意；②当-k=1时，解出f（-k）=0，恒成立，得k=-1；
③当-k＜1时，解出k=-1或1，但k=1不符合题意
综上所述，得当k=-1时，F（x）为奇函数．…（4分）
（Ⅲ）由已知，得h(x)=

x2-x+a-a2，x≥a  x2+x-a-a2，x＜a .

并且函数s=x²-x+a-a²与t=x²+x-a-a²在x=a处的值相同．…（5分）
①当a≥

1

2

时，h（x）在区间(-∞，-

1

2

)上单调递减，在区间(-

1

2

，a)上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增．
所以，h（x）的最小值为f(-

1

2

)=(-

1

2

)2+(-

1

2

)-a-a2=-a2-a-

1

4

．…（6分）
当-

1

2

＜a＜

1

2

时，h（x）在区间(-∞，-

1

2

)上单调递减，在区间(-

1

2

，a)上单调递增，在区间(a，

1

2

)上单调递减，在区间(

1

2

，+∞)上单调递增．
所以h（x）最小值为f(-

1

2

)与f(

1

2

)中较小的一个，即-a2-a-

1

4

与-a2+a-

1

4

中较小的一个．
②当-

1

2

＜a＜0时，h（x）的最小值为-a2+a-

1

4

．…（7分）
③当0≤a＜

1

2

时，h（x）的最小值为-a2-a-

1

4

．…（8分）
④当a≤-

1

2

时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间(a，

1

2

)上单调递减，在区间(

1

2

，+∞)上单调递增．
所以h（x）的最小值为f(

1

2

)=(

1

2

)2-(

1

2

)+a-a2=-a2+a-

1

4

．…（9分）
综上所述，得：当a≤0时，h（x）的最小值为-a2+a-

1

4

，当a＞0时，h（x）的最小值为-a2-a-

1

4

．…（10分）

点评：本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性、奇偶性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和奇偶性与单调性的综合等知识，属于难题．