Question

15．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+1（n∈N^*）．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求证：其前n项和T_n＜4．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1，由此能求出{a_n}通项公式，由S_n+b_n=2，得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}$，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知${c_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，由此利用错位相减法能证明1≤T_n＜4．

解答 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴其通项公式为：a_n=n．（3分）
∵S_n+b_n=2，则S_n+1+b_n+1=2，两式相减，化简可得$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}为等比数列，又S₁+b₁=2，则b₁=1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．（6分）
证明：（2）由已知得：${c_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
∴${T_n}=1+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2^2}+…+n×\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+n×\frac{1}{2^n}$
∴$\frac{1}{2}{T_n}=（{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{n}{2^n}$=$\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}$
∴${T_n}=4（{1-\frac{1}{2^n}}）-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$（9分）
又$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}＞0$，则T_n＜4．
∵${T_{n+1}}-{T_n}=（{4-\frac{n+3}{2^n}}）-（{4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}•\frac{n+1}{2}＞0$
∴T_n+1＞T_n，即T_n递增，则当n=1时，T_n有最小值1．
综上，1≤T_n＜4．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．