Question

已知函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若m＜2，且函数f（x）的极大值为10e^-2，求m的值．

Answer 1

解：（1）若m=1，则f（x）=（x²+x+1）e^x；
f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x+1）e^x=（x²+3x+2）e^x；
当x＜-2或x＞-1时，f'（x）＞0；当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0；
∴f（x）的递增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）；递减区间为（-2，-1）
（2）f'（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=（x+2）（x+m）e^x，
∵m＜2．∴-m＞-2
∴函数的单调递增区间为（-∞，-2），（-m，+∞），递减区间为（-2，-m）
则在x=-2时，f（x）取得极大值，
∴f（-2）=10e^-2
∴（4-2m+m）e^-2=10e^-2
∴m=-6
分析：（1）先求函数的导函数，然后研究导函数的符号，从而确定函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数的导函数，由于其表达式中含有参数m，根据m的取值，确定函数的极大值，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．