Question

3．已知直线l过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$上任意一点A（x₁，y₁）（y₁≠0）且斜率为-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$，设原点到直线l的距离为d，点A到椭圆两个焦点的距离分别为r₁、r₂，则$\sqrt{{r}_{1}•{r}_{2}}•d$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知两焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）、${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=2$，利用点斜式可知直线l方程为$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$x+y-$\frac{1}{{y}_{1}}$=0，利用点到直线的距离公式可知d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$，利用两点间距离公式计算可知r₁•r₂=1+${{y}_{1}}^{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：由椭圆方程可知两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
设直线l方程为：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$（x-x₁），
整理得：$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$x+y-$\frac{1}{{y}_{1}}$=0，
则d=$\frac{|0+0-\frac{1}{{y}_{1}}|}{\sqrt{1+（\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$，
又∵r₁•r₂=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{1}+1+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+{{y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}-2）+{{y}_{1}}^{4}+2{{y}_{1}}^{2}+1}$
=1+${{y}_{1}}^{2}$，
∴$\sqrt{{r}_{1}•{r}_{2}}•d$=$\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{{y}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．