Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

（A＞0，ω＞0）图象上的一个最高点的坐标为（

π

8

，2

2

），则此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）试求这条曲线的函数表达式；
（2）求函数的对称中心；
（3）用”五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象；
（4）试说明y=sin2x的图象是由y=f（x）的图象经过怎样的变换得到的？

Answer 1

分析：（1）根据条件中所给的函数的最高点的坐标，写出振幅，根据两个相邻点的坐标写出周期，把一个点的坐标代入求出初相，写出解析式．
（2）根据正弦曲线的对称中心，使得函数的自变量等于对称中心的横标求出结果，注意纵标是

2

．
（4）y=f（x）先向下平移

2

个单位得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再横标不变纵标变化为原来的

2

2

得到f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

个单位得到y=sin2x．

解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+

2

最高点的坐标为（

π

8

，2

2

），
则此点到相邻最低点间的曲线与平衡轴交于点（

3

8

π，0），
∴A=

2

，

T

4

=

π

4

，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=

2

sin（2x+φ）+

2

∵过（

π

8

，2

2

）点，
∴2

2

=

2

sin（2x+φ）+

2

∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴φ=

π

4

，
∴函数的解析式是f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

（2）∵正弦曲线的对称中心是（kπ，0）
∴2x+

π

4

=kπ，k∈z
∴x=

kπ

2

-

π

8

，
∴函数的对称中心是（

kπ

2

-

π

8

，

2

）
（3）

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	1+ 2	2 2	2	0	2	1+ 2

图形如右图

（4）y=f（x）先向下平移

2

个单位得到
f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）再横标不变纵标变化为原来的

2

2

得到
f（x）=sin（2x+

π

4

）再向右平移

π

8

个单位得到y=sin2x

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是从题设的条件中求出A，ω，φ这几个量来，本题考查到了求曲线的对称中心以及五点法作图，图象的变换，本题基本上涉及了三角函数的重要知识，综合性较强，求φ是本题中的一个易错点，由于本题代入的点是顶点，求解时情况只有一种，若不是顶点时要注意代入的点是增区间上的点还是减区间上的点，以确定相位的值，求出正确的φ．