Question

已知正整数集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，其中a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A∩B={a₁，a₄}，且a₁+a₄=10，A∪B中所有元素之和为114．
（1）求a₁和a₄的值；
（2）求A．

Answer 1

分析：先由a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A∩B={a₁，a₄}得a₁=a₁²⇒a₁=1；再代入条件求出a₄=9，然后代入集合B验证看哪个为9时符合要求，即可求出集合A和B．

解答：解：（1）由a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A∩B={a₁，a₄}，
可知a₁=a₁²，∴a₁=1
∵a₁+a₄=10，∴a₄=9，
（2）若a₂²=9，a₂=3，此时A={1，3，a₃，9}，B={1，9，a₃²，81}，
则有（1+3+a₃+9）+（a₃²+81）=114，
即a₃²+a₃-20=0，
解得a₃=4，（a₃=-5舍去）
∴A={1，3，4，9}，B={1，9，16，81}满足条件．
若a₃²=9，a₃=3，此时只能有a₂=2，
此时A={1，2，3，9}，B={1，9，9，81}，集合B不成立．
∴A={1，3，4，9}，B={1，9，16，81}．
故A={1，3，4，9}．

点评：本题的关键点在于先利用条件求出a₁和a₄，注意要根据条件进行分类讨论．