Question

已知向量

.

a

=（cos

3θ

2

，sin

3θ

2

），

.

b

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

），θ∈[0，

π

3

]，
（I）求

. a . . b

| . a + . b |

的最大值和最小值；
（II）若|k

.

a

+

.

b

|=

3

|

.

a

-k

.

b

|（k∈R），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

a

•

b

=cos2θ，由向量的数量积的性质可得，|

a

+ 

b

|=2cosθ，代入可得

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

，令t=cosθ，利用导数研究函数y=t-

1

2t

在[

1

2

，1]上单调性可求函数的最值
（2）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，结合|

a

|=|

b

|=1可求

a

•

b

=

1+k2

4k

，结合

a

•

b

=cos2θ，及θ∈[0，

π

3

]可得，-

1

2

≤

a

•

b

≤1，则可得-

1

2

≤

1+k2

4k

≤1，解不等式可求k得范围

解答：解：（1）∵

.

a

=（cos

3θ

2

，sin

3θ

2

），

.

b

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

），
∴

a

•

b

=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ
∵|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2+2cos2θ=4cos²θ
∴|

a

+ 

b

|=2cosθ，θ∈[0，

π

3

]
∴

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

令t=cosθ，则t∈[

1

2

，1]，y=

a • b

| a + b |

=

2t2-1

2t

=t-

1

2t

，t∈[

1

2

，1]
则y′=1+

1

2t2

＞0
∴y=t-

1

2t

在[

1

2

，1]上单调递增
∴ymax=

1

2

，ymin=-

1

2

（2）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|可得(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2
即k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)
又∵|

a

|=|

b

|=1
∴k2+1+2k

a

•

b

=3(1+k2-2k

a

•

b

)
∴

a

•

b

=

1+k2

4k

由

a

•

b

=cos2θ，θ∈[0，

π

3

]可得，-

1

2

≤

a

•

b

≤1
∴-

1

2

≤

1+k2

4k

≤1
∴

1+k2 4k + 1 2 ≥ 0 1+k2 4k -1≤0

∴

(k+1)2 4k ≥0 k2-4k+1 4k ≤0

解可得，

k=-1或k＞0 k＜0或2- 3 ≤k≤2+ 3

∴k=-1或2-

3

≤k≤2+

3

综上可得，k得取值范围为{k|k=-1或2-

3

≤k≤2+

3

}

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，利用导数判断函数的单调性，进而求解函数的最值，分式不等式的解法，属于函数与向量、不等式的综合应用