Question

设函数f（x）=log

2

x，若数列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4为等差数列，m∈N^*．
（Ⅰ）求数列{f（x_n）}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的通项公式；
（Ⅱ求数列{x_n}（1≤n≤m，m、n∈N^*）的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用对数的运算法则可得x_n=2¹⁺ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵数列：2，f（x₁），f（x₂），…，f（x_m），2m+4为等差数列，m∈N^*．
∴2m+4=2+（m+1）d，解得d=2．
∴f（x_n）=2+nd=2+2n．（1≤n≤m，m、n∈N^*）．
（II）∵函数f（x）=log

2

x，
∴log

2

xn=2+2n，∴x_n=2¹⁺ⁿ．
∴S_n=

4(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺²-4，（1≤n≤m，m、n∈N^*）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．