Question

已知集合A={x|ax²+2x+1=0}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）A中只有一个元素包含两种情况：一次方程或二次方程只有一个根，二次方程根的个数通过判别式为0．
（2）A中至多只有一个元素包含只有一个根或无根，只有一个根的情况在（1）已解决；无根时，判别式小于0，解得．

解答：解：（1）当a=0时，A={x|2x+1=0}={-

1

2

}，符合条件；
当a≠0时，方程ax²+2x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，
则方程ax²+2x+1=0只有一个实数解，所以△=4-4a=0?a=1．
所以，a的值为0或1．
（2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A=∅．
由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；
若A=∅，则方程ax²+2x+1=0无实数解，所以△=4-4a＜0?a＞1．
所以，a≥1或a=0．

点评：本题考查分类讨论的数学方法、考查通过判别式解决二次方程根的个数问题．