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点A、B、C、D在同一球面上,AB=BC=
2
,AC=2,若四面体ABCD的体积的最大值为
2
3
,则这个球的表面积为(  )
A.
125
6
π
B.8πC.
25
4
π
D.
25
16
π
根据题意知,△ABC是一个直角三角形,其面积为1.其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上,设小圆的圆心为Q,
若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为
1
3
×
S△ABC×DQ=
2
3

1
3
×1×DQ=
2
3
,∴DQ=2,如图.
设球心为O,半径为R,则在直角△AQO中,
OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(2-R)2,∴R=
5
4

则这个球的表面积为:S=4π(
5
4
2=
25
4
π

故选C.
练习册系列答案
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已知正四面体ABCD的棱长为2,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和是
(  )
A.3+
3
B.4C.3D.
3

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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=
2
a,BC=CA=AA1=a,且A1O⊥平面ABC,点O在AC上且为AC中点,求此三棱柱的侧面积.

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A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

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已知四面体ABCD中,BD=
3
,BC=DC=1,其余棱长均为2,且四面体ABCD的顶点A、B、C、D都在同一个球面上,则这个球的表面积是(  )
A.
3
B.
3
C.
3
D.
16π
3

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已知一个边长为1的正方体的8个顶点都在同一球面上,则该球的直径为______.

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2
6
,则此长方体外接球的体积与表面积之比为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知矩形ABCD,AB=1,BC=x,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则(  )
A.?x∈(0,2),都存在某个位置,使得AB⊥CD
B.?x∈(0,2),都不存在某个位置,使得AB⊥CD
C.?x>1,都存在某个位置,使得AB⊥CD
D.?x>1,都不存在某个位置,使得AB⊥CD

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