Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，设过点P(3，

2

)的直线l，与x轴交于点F（2，0），如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意并结合椭圆基本量的平方关系，建立关于a、b的方程组，解之即可得到此椭圆的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），将A、B坐标代入椭圆的方程，再将所得的方程作差因式分解，结合直线的斜率公式与中点坐标公式变形整理，可得2x²+3y²-4x=0，即为所求AB中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）设所求椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵点P(3，

2

)在椭圆上，且F（2，0）是椭圆的一个焦点，
∴

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，解得

a2=12 b2=8

，
∴此椭圆的标准方程为：

x2

12

+

y2

8

=1；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为M（x，y），
则可得

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，两式相减，整理得：

1

12

(x12-x22)=-

1

8

(y12-y22)．
①当x₁≠x₂时，可得

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

12(y1+y2)

=-

2

3

?

2x

2y

=-

2

3

?

x

y

；
又∵k_AB=k_MF=

y-0

x-2

，
∴-

2

3

?

x

y

=

y-0

x-2

，整理得2x²+3y²-4x=0；
②当x₁=x₂时，AB中点为M（2，0），也满足上述方程．
综上所述，动点M的轨迹方程为：2x²+3y²-4x=0．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此研究动点的轨迹方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线的斜率公式、中点坐标公式等知识，考查了动点轨迹方程的求法，属于中档题．