【题目】已知抛物线的焦点为,直线与相切于点,
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设直线交于两点,是的中点,若,求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值为,此时直线的方程为
【解析】
(Ⅰ)设A(x0,y0),联立直线方程和抛物线方程,运用判别式为0,结合抛物线的定义,可得抛物线方程;
(Ⅱ)由题意可得直线l的斜率不为0,设l:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),联立抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式,结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程.
(Ⅰ)设,联立方程,得
由,得
,解得
故抛物线的方程为
(Ⅱ)由题意可得直线l的斜率不为0,设l:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4n=0,
△=16m2+16n>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4n,
|AB|8,
可得nm2,
2m,2m2+nm2
m2+1﹣1≥21=3,
当且仅当m2+1,即m2=1,即m=±1,
T到y轴的距离的最小值为3,
此时n=1,直线的方程为x±y﹣1=0.
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【题目】下图是某市年至年环境基础设施投资额(单位:亿元)的条形图.
(1)若从年到年的五年中,任意选取两年,则这两年的投资额的平均数不少于亿元的概率;
(2)为了预测该市年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据年至年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
(i)分别利用这两个模型,求该地区年的环境基础设施投资额的预测值;
(ii)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
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【题目】[2019·武汉六中]袋子中有四个小球,分别写有“武、汉、军、运”四个字,从中任取一个小球,有放回抽取,直到取到“军”“运”二字就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率:利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“军、运、武、汉”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下16组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220
231 130 133 231 331 320 122 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知定点M(-3,0),Q、P分别是x轴、y轴上的动点,且使MP⊥PQ,点N在直线PQ上,
(1)求动点N的轨迹C的方程.
(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于两点A、B,问:在x轴上是否存在一点D,使△ABD为等边三角形;若存在,试求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】[2019·清远期末]一只红铃虫的产卵数和温度有关,现收集了4组观测数据列于下表中,根据数据作出散点图如下:
温度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
产卵数/个 | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程(数字保留2位小数);
(3)要使得产卵数不超过50,则温度控制在多少以下?(最后结果保留到整数)
参考数据:,,,,,,,,,,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
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【题目】在二项式的展开式中,
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(最后结果用算式表达,不用计算出数值)
(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79,求展开式中系数最大的项.(最后结果用算式表达,不用计算出数值)
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【题目】手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市,随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的2×2列联表,已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为.
(I)根据已知条件完成2×2列联表,并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
2×2列联表:
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 120 | ||
不使用手机支付 | 48 | ||
合计 | 200 |
(Ⅱ)现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本,再从中随机抽取3人,求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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