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已知函数,a∈R是常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求时,f(x)零点的个数;
③求证:(n∈N*,e为自然对数的底数).
【答案】分析:(1)讨论含参数的函数的单调性问题,先求出导函数f′(x),令f′(x)>0,本小题要对参数a分a≥0,-1<a<0,a≤-1三种情形进行讨论,对运算能力要求较高;
(2),由(1)的结论-1<a=<0,所以分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题.
(3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解.
解答:解:(1)
若a≥0,则f′(x)>0,f(x)在定义域内单调递增;若a≤-1,
则f′(x)<0,f(x)在定义域内单调递减;若-1<a<0,由f′(x)=0
解得,
直接讨论f′(x)知,f(x)在
单调递减,
单调递增.
(2)观察得f(0)=0,时,
由①得f(x)在单调递减,
所以f(x)在上有且只有一个零点;

计算得
f(x1)f(x2)<0且f(x)在区间单调递增,
所以f(x)在上有且只有一个零点;
根据对数函数与幂函数单调性比较知,
存在充分大的M∈R,使f(M)<0,f(x2)f(M)<0
且f(x)在区单调递减,
所以f(x)在
从而在上有且只有一个零点.
综上所述,时,f(x)有3个零点.
(3)取a=-1,
由①得f(x)单调递减,
所以?x>0,f(x)<f(0)=0,
从而ln(1+)(1+)…(1+
=ln(1+)ln(1+)+…(1+
++…
由lnx单调递增得
点评:单调性刻画函数两个变量变化趋势的一致性,是认识函数的重要角度,运用单调性可以确定函数零点的个数,考查导数使单调性可以定量、精确研究这一重要工具.参数是可变的常数,处理参数是比较高端的数学素养,本题考查了这一素养,因此对学生的综合应用能力要求较高.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1,x∈R)
,数列{an}满足 a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*).
(1)若数列{an}是常数列,求a的值;
(2)当a1=4时,记bn=
an-2
a n-1
(n∈N*)
,证明数列{bn}是等比数列,并求出通项公式an

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
2x+1
x+2
(x≠-2,x∈R)
,数列{an}满足a1=a(a≠-2,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*).
(1)若数列{an}是常数列,求a的值;
(2)当a1=2时,记bn=
an-1
a n+1
(n∈N*)
,证明数列{bn}是等比数列,并求出通项公式an

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ax-
a
x
(a∈R),下列说法正确的是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
2x
x+1
,数列{an}满足a1=a(a≠-2,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*)
(Ⅰ)若数列{an}是常数列,求a的值;
(Ⅱ)当a1=
2
3
时,记bn=
1
an
-1(n∈N*)
,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1,x∈R)
,数列{an}满足 a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*)
(1)若数列{an}是常数列,求a的值;
(2)当a1=4时,记bn=
an-2
an-1
(n∈N*)
,证明数列{bn}是等比数列,并求
lim
n→∞
an

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