Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{a}{3}，x≤0}\\{lnx-2x+a，x＞0}\end{array}\right.$ 有三个不同零点，则实数a的取值范围是（1+ln2，3]．

Answer 1

分析 当x＞0时，求函数的导数，判断函数的极值，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：当x＞0时，f（x）=lnx-2x+a，
则f′（x）=$\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$，由f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{2}$，此时函数单调递减，即当x=$\frac{1}{2}$时，函数取得极大值同时也是最大值f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-1+a，
当x≤0时，函数f（x）=2^x-$\frac{a}{3}$为增函数，
要使f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{a}{3}，x≤0}\\{lnx-2x+a，x＞0}\end{array}\right.$ 有三个不同零点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{0≤f（0）＜1}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤1-\frac{a}{3}＜1}\\{ln\frac{1}{2}-1+a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤3}\\{a＞1-ln\frac{1}{2}=1+ln2}\end{array}\right.$
解得1+ln2＜a≤3，
故答案为：（1+ln2，3]

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．