Question

(本小题满分12分）

设点到直线的距离与它到定点的距离之比为，并记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程;

（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在由四点构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）有题意，     ………………2分

整理得，所以曲线的方程为………………4分

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，所以可设直线的方程为.

设点的坐标分别为

线段的中点为，

由

得

由解得．…(1) …………7分

由韦达定理得，于是

=，   ……………8分

因为，所以点不可能在轴的右边，

又直线,方程分别为

所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为

 即 亦即 ………………10分

解得，……………(2)  

由（1）（2）知，直线斜率的取值范围是………………12分

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后高考命题的一个新的重点、热点.