Question

 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

Answer 1

解析:

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为  AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以  AB∥平面CPD．

又  P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此  平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以  二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为  AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以  AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为  l∥AB∥CD，

因此  PE⊥l，PF⊥l，

所以  ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为  PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为  E，F分别是AB，CD的中点，

所以  EF=BC=a．

在△EFP中，