【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R)
(1)t=2时,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若对于任意的t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)≥a+x恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当t=2时,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,
若x≤1,则f(x)=3﹣2x,于是由f(x)>2,解得x< ,综合得x< ;
若1<x<2,则f(x)=1,显然f(x)>2不成立;
若x≥2,则f(x)=2x﹣3,于是由f(x)>2,解得x> ,综合得x>
∴不等式f(x)>2的解集为{x|x< ,或x> }
(2)解:f(x)≥a+x等价于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,
当﹣1≤x≤1时,g(x)=1+t﹣3x,显然g(x)min=g(1)=t﹣2,
当1<x<t时,g(x)=t﹣1﹣x,此时g(x)>g(1)=t﹣2,
当t≤x≤3时,g(x)=x﹣t﹣1,g(x)min=g(1)=t﹣2,
∴当x∈[1,3]时,g(x)min=t﹣2,
又∵t∈[1,2],
∴g(x)min≤﹣1,即a≤﹣1,
综上,a的取值范围是a≤﹣1
【解析】(1)通过讨论x的范围,去掉绝对值解关于x的不等式,求出不等式的解集即可;(2)问题等价于a≤f(x)﹣x,令g(x)=f(x)﹣x,求出g(x)的最小值,从而求出a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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【题目】如图,设椭圆C1: + =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是 .
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.
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【题目】已知函数 (a为常数,a≠0).
(1)当a=1时,求函数f(x)在点(3,f(3))的切线方程
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在x0处取得极值,且 ,而f(x)≥0在[e+2,e3+2]上恒成立,求实数a的取值范围.(其中e为自然对数的底数)
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【题目】已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a<b<c,C=2A.
(1)若c= a,求角A;
(2)是否存在△ABC恰好使a,b,c是三个连续的自然数?若存在,求△ABC的周长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列{an}满足an+1=an﹣2an+1an , an≠0且a1=1
(1)求证:数列 是等差数列,并求出{an}的通项公式;
(2)令 ,求数列{bn}的前2n项的和T2n .
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【题目】某中学的高一、高二、高三共有学生1350人,其中高一500人,高三比高二少50人,为了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生120人,则该样本中的高二学生人数为( )
A.80
B.96
C.108
D.110
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为 ,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)直线l与直线C2交于M,N两点,若|MN|≥2 ,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|ax﹣1|﹣(a﹣1)x.
(i) 当a=2时,满足不等式f(x)>0的x的取值范围为;
(ii) 若函数f(x)的图象与x轴没有交点,则实数a的取值范围为 .
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