Question

19．如图，圆C：x²+y²+2x-3=0内有一点P（-2，1），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；
（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）判断直线经过圆的圆心，然后求解弦长．
（2）弦AB被点P平分时，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，然后求解直线方程．
（3）设M（x₀，y₀），则满足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①，通过$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．然后求解即可．

解答 解：（1）由题意知，圆心C（1，0），半径R=2，直线AB的方程为x+y+1=0，
直线AB过圆心C，所以弦长AB=2R=4．…（4分）
（2）当弦AB被点P平分时，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，
所以k_AB=1，直线AB的方程为x-y+3=0．…（8分）
（3）设M（x₀，y₀），则满足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①…（9分）
由题意得，$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．…（10分）
整理得${x_0}^2+{y_0}^2={λ^2}[{x_0}^2-2a{x_0}+{a^2}+{y_0}^2]$，②
由①②得，$3-2{x_0}={λ^2}[3-2{x_0}-2a{x_0}+{a^2}]$恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}3={λ^2}（3+{a^2}）\\-2={λ^2}（-2-2a）\end{array}\right.$，又a≠0，λ＞0，λ≠1，
解之得a=3．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．