Question

9．设函数f（x）=x^m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=2x+1，则数列{$\frac{f（n）}{n•{2}^{n}}$}（n∈N^*）的前n项和为（　　）

• A． 3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$
• B． 3-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
• C． 3+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{3}{2}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$

Answer 1

分析 函数f（x）=x^m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=mx^m-1+a=2x+1，可得m=2，a=1．f（x）=x²+x.$\frac{f（n）}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：函数f（x）=x^m+ax（m，a为常数）的导数为f′（x）=mx^m-1+a=2x+1，
∴m=2，a=1．
∴f（x）=x²+x．
∴$\frac{f（n）}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
数列{$\frac{f（n）}{n•{2}^{n}}$}（n∈N^*）的前n项和S_n=1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．
故选：A．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．