Question

如图，若M是抛物线y²=x上的一定点（M不是顶点），动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．证明：直线EF的斜率为定值．

Answer 1

分析：设M（y₀²，y₀），由MA=MB可得直线ME的斜率为k（k＞0）方程为y-y₀=k（x-y₀²）与直线MF的斜率互为相反数
则直线MF的斜率为-k，方程为y-y₀=-k（x-y₀²）．联立直线与抛物线方程可分别求出E，F的坐标，代入直线的斜率公式可求

解答：证明：设M（y₀²，y₀），直线ME的斜率为k（k＞0），
方程为y-y₀=k（x-y₀²）．
则直线MF的斜率为-k，方程为y-y₀=-k（x-y₀²）．
由

y-y0=-k(x- y 2 0 ) y2=x

消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0， 解得yE= 1-ky0 k ，所以xE= (1-ky0)2 k2 ，

点E的坐标为(

(1-ky0)2

k2

，

1-ky0

k

)．…（5分）
同理可得，点F的坐标为(

(1+ky0)2

k2

，

1+ky0

-k

)．
所以kEF=

yE-yF

xE-xF

=

1-ky0 k - 1+ky0 -k

(1-ky0)2 k2 - (1+ky0)2 k2

=

2 k

-4ky0 k2

=-

1

2y0

，
所以直线EF的斜率为定值．  …（10分）

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，解题的关键是由MA=MB发现直线ME与MF的斜率的关系．