Question

已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面.

（1）证明：点在平面上的射影为的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

（1）见解析  （2）      （3）

【错解分析】对于立体几何的角和距离，一定要很好的理解“作，证，”三个字
【正解】解：（1）证明：过B₁点作B₁O⊥BA。∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC

∴A₁O⊥面ABC ∴∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC倾斜角∴∠B₁BO= 
在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点，
即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点.
（2）连接AB₁过点O作OM⊥AB₁，连线CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁∴OC⊥平面AABB.∴OM是斜线CM在平面AA₁B₁B的射影 ∵OM⊥AB₁∴AB₁⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB₁—B的平面角
在Rt△OCM中，OC=，OM=
∴∠OMC=∴二面角C—AB₁—B的大小为
（3）过点O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON
∴ON⊥平面AB₁C。∴ON是O点到平面AB₁C的距离

连接BC₁与B₁C相交于点H，则H是BC₁的中点,∴B与C₁到平面ACB₁的相导。
又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB₁C的距离是O到平面AB₁C距离的2倍
∴点到平面AB₁C距离为.