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某公司有电子产品n件,合格率为96%,在投放市场之前,决定对该产品进行最后检验,为了减少检验次数,科技人员采用打包的形式进行,即把x件打成一包,对这x件产品进行一次性整体检验,如果检测仪器显示绿灯,说明该包产品均为合格品;如果检测仪器显示红灯,说明该包产品至少有一件不合格,须对该包产品一共检测了x+1次
(1)探求检测这n件产品的检测次数f(x);
(2)如果设0.96n≈1-0.04n,要使检测次数最少,则每包应放多少件产品?
分析:(1)因为每一件产品被检验的次数是一随机变量ξ,所以ξ的取值为
1
x
1+
1
x
,然后求出相应的概率,得到随机变量ξ的概率分布,再求出每一件产品被检验的期望Eξ,从而得到这n件产品被检验的次数为(x)=nEξ;
(2)由题设可知0.96x=1-0.04x,所以化简f(x),然后利用基本不等式求出最小值,以及取最小值时x的值即可.
解答:解:(1)因为每一件产品被检验的次数是一随机变量ξ,所以ξ的取值为
1
x
1+
1
x

则随机变量ξ的概率分布为
ξ
1
x
1+
1
x
P (
96
100
)x
1-(
96
100
)x
…(4分)
所以每一件产品被检验的期望为Eξ=
1
x
(
96
100
)x+(1+
1
x
)[1-(
96
100
)x]
=1+
1
x
-0.96x

于是,这n件产品被检验的次数为f(x)=n(1+
1
x
-0.96x)
…(6分)
(2)由题设可知0.96x=1-0.04x,
所以f(x)=n(1+
1
x
-0.96x)
=n[1+
1
x
-(1-0.04x)]

=n(
1
x
+0.04x)≥n•2
1
x
•0.04x
=0.4n
(当且仅当
1
x
=0.04x
即x=5)时等号成立
因此,要使检测的次数最少,每包应放5件.…(12分)
(不验证等号扣1分)
点评:本题主要考查了离散型随机变量及其分布列,以及数学期望和基本不等式求最值,同时考查了计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)探求检测这n件产品的检测次数f(x);

(2)如果设0.96n≈1-0.04n,要使检测次数最少,则每包应放多少件产品?

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(2)如果设0.96n≈1-0.04n,要使检测次数最少,则每包应放多少件产品?

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科目:高中数学 来源:2011年河北省衡水中学高考数学三模试卷B(理科)(解析版) 题型:解答题

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(1)探求检测这n件产品的检测次数f(x);
(2)如果设0.96n≈1-0.04n,要使检测次数最少,则每包应放多少件产品?

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