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某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任意题减2分;
②每答一题,计分器显示累计分数,当累积分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累积分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;答完四题累计分数不足14分时,答题结束淘汰出局;
③每位参加者按A,B,C,D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为
3
4
1
2
1
3
1
4
,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
分析:(1)根据题意,列举甲能进入下一轮的五种情况,由于每题答题结果相互独立,根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果.
(2)由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留,所以最少答两个题,随机变量ξ可能的取值为2,3,4,由于每题的答题结构都是相对独立的,根据相互独立事件同时发生的概率得到结果.
解答:解:设A,B,C,D分别是第一、二、三、四个问题,用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确,
用Ni(i=1,2,3,4)表示第i个问题回答错误,则Mi与Ni(i=1,2,3,4)是对立事件.由题意得P(M1)=
3
4
,P(M2)=
1
2
,P(M3)=
1
3
,P(M4)=
1
4

P(N1)=
1
4
,P(N2)=
1
2
,P(N3)=
2
3
,P(N4)=
3
4

(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,
则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
由于每题答题结果相互独立,
∴P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4
=P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4)=
3
4
1
2
1
3
+
1
4
1
2
1
3
1
4
+
3
4
1
2
1
3
1
4
+
3
4
1
2
2
3
1
4
+
1
4
1
2
2
3
1
4
=
1
4

(Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,
由于每题的答题结果都是相对独立的,
P(ξ=2)=P(N1N2)=
1
8

P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)= 
3
4
1
2
1
3
+
3
4
1
2
2
3
=
3
8

P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-
1
8
-
3
8
=
1
2

Eξ=2×
1
8
+3×
3
8
+4×
1
2
=
27
8
点评:本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法,考查用概率知识解决实际问题的能力.
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②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

   (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;

   (Ⅱ)用表示甲内当家本轮答题结束时答题的个数,求的分布列和数学期望E.

 

 

 

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(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;
(Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ。

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