Question

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；
②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为

3

4

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留，所以最少答两个题，随机变量ξ可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．

解答：解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，
用N_i（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则M_i与N_i（i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得P(M1)=

3

4

，P(M2)=

1

2

，P(M3)=

1

3

，P(M4)=

1

4

，
则P(N1)=

1

4

，P(N2)=

1

2

，P(N3)=

2

3

，P(N4)=

3

4

．
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q=M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄
由于每题答题结果相互独立，
∴P（Q）=P（M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄）
=P（M₁M₂M₃）+P（N₁M₂M₃M₄）+P（M₁N₂M₃M₄）+P（M₁M₂N₃M₄）+P（N₁M₂N₃M₄）=

3

4

•

1

2

•

1

3

+

1

4

•

1

2

•

1

3

•

1

4

+

3

4

•

1

2

•

1

3

•

1

4

+

3

4

•

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

4

•

1

2

•

2

3

•

1

4

=

1

4

（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，
由于每题的答题结果都是相对独立的，
∵P(ξ=2)=P(N1N2)=

1

8

，
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)= 

3

4

•

1

2

•

1

3

+

3

4

•

1

2

•

2

3

=

3

8

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-

1

8

-

3

8

=

1

2

∴Eξ=2×

1

8

+3×

3

8

+4×

1

2

=

27

8

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力．