Question

5．某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x-y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P₁；
（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（2）依题意可得：第四组人数为：$4×\frac{0.015}{0.005}$=12，可得P₁=$\frac{{∁}_{12}^{1}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$．
（3）依题意可得：样本总人数为：$\frac{4}{0.05}$=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率=$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B$（3，\frac{3}{10}）$，即可得出．

解答 解：（1）频率分布直方图见解析，
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；
（2）依题意可得：第四组人数为：
$4×\frac{0.015}{0.005}$=12，
故P₁=$\frac{{∁}_{12}^{1}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$=$\frac{2}{5}$；
（3）依题意可得：样本总人数为：$\frac{4}{0.05}$=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率=$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．
ξ～B$（3，\frac{3}{10}）$，P（ξ=0）=$（1-\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{343}{1000}$，P（ξ=1）=${∁}_{3}^{1}（1-\frac{3}{10}）^{2}×\frac{3}{10}$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${∁}_{3}^{2}（1-\frac{3}{10}）×（\frac{3}{10}）^{2}$=$\frac{189}{1000}$，
P（ξ=3）=$（\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{27}{1000}$．ξ的分布列如下

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

故Eξ=$3×\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．