Question

设函数f(x)=ax+2，g(x)=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0，
(Ⅰ)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；
(Ⅱ)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意可知，当a=2时，，则，
曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线斜率k=g′(1)=7，
又F(1)=6，
曲线y=g(x)在点(l，g(1))处的切线的方程为y-6=7（x-1）， 即y=7x-1．
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a²x²(x＞0)，
假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立．
即当x＞0时，h(x)的最大值小于等于零，
，
令，可得（舍去），
当时，单增；
当时，单减，
所以，h(x)在处有极大值，也是最大值，
∴，解得：，
所以，负数a存在，它的取值范围是。