【题目】已知抛物线上一点到焦点F的距离,倾斜角为α的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B。
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若α为锐角,作线段AB的中垂线m交x轴于点P。证明:。
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【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱,现统计了连续天的售出和收益情况,如下表:
售出水量(单位:箱) | |||||
收益(单位:元) |
(1)若每天售出箱水,求预计收益是多少元?
(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生考入年级前名,获一等奖学金元;考入年级前名,获二等奖学金元;考入年级名以后的特困生不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为.
①在学生甲获得奖学金的条件下,求他获得一等奖学金的概率;
②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额的分布列及数学期望
附:
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【题目】2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车在一般情况下,大桥上的车流速度单位:千米时是车流密度单位:辆千米的函数当桥上的车流密度达到220辆千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆千米时,车流速度为100千米时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
Ⅰ当时,求函数的表达式;
Ⅱ当车流密度x为多大时,车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆时可以达到最大?并求出最大值.
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【题目】为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关,随机抽取了男、女学生各50人进行调查,根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.
(1)求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数;
(2)将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”,已知“游戏迷”中女生有6人;根据已知条件,完成下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系;
非游戏迷 | 游戏迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附:(其中为样本容量).
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,则称为“局部奇函数”。为定义在上的“局部奇函数”;q:曲线与x轴交于不同的两点。
(1)当p为真时,求m的取值范围.
(2)若“”为真命题,且“”为假命题,求m的取值范围。
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【题目】下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系,试分别就,,三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离.
车速/(km/h) | 10 | 15 | 30 | 40 | 50 |
刹车距离/m | 4 | 7 | 12 | 18 | 25 |
车速/((km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
刹车距离/m | 34 | 43 | 54 | 66 | 80 |
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点的直角坐标为,曲线与直线交于两点,求的值.
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【题目】已知函数(常数)满足.
(1)求的值,并对常数的不同取值讨论函数奇偶性;
(2)若在区间上单调递减,求的最小值.
(3)若方程在有解,求的取值范围.
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【题目】函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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